已知函數(shù)f(x)是在(0，＋∞)上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù)，若(x)＞f(x)在(0，＋∞)上恒成立．

(1)①求證：函數(shù)g(x)＝在(0，＋∞)上是增函數(shù)；

②當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，證明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；

(2)已知不等式ln(x＋1)＜x在x＞－1且x≠0時(shí)恒成立，求證：ln22＋ln32＋ln42＋…＋ln(n＋1)2＞，(n∈N*)

答案：
解析：

　　解：(1)①由，，由可知在上恒成立，

　　從而有在上是增函數(shù)．

　�、谟散僦�在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有

　　，于是有：

　　兩式相加得：

　　(2)由(Ⅰ)②可知：，()恒成立

　　由數(shù)學(xué)歸納法可知：時(shí)，有：

　　恒成立

　　設(shè)，則，則時(shí)，

　　恒成立

　　令，記

　　又，

　　又

　　

　　

　　將(**)代入(*)中，可知：…

　　于是：…

　　


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù),若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立.?

(1)求證:函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù);

(2)求證:當(dāng)x1＞0,x2＞0時(shí),有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

(3)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立,求證:ln22+ln32+ln42+…+)2ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立.

(Ⅰ)求證：函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；

(Ⅱ)求證：當(dāng)x1＞0,x2＞0時(shí)，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)；

(Ⅲ)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立.

(Ⅰ)求證：函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；

(Ⅱ)求證：當(dāng)x1＞0,x2＞0時(shí)，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

(Ⅲ)求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立.

（Ⅰ）求證：函數(shù)g(x)=在（0，+∞）上是增函數(shù)；

（Ⅱ）求證：當(dāng)x1＞0,x2＞0時(shí)，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

（Ⅲ）已知不等式ln（1+x)＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0，+∞)上處處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立．

(1)求證：函數(shù)g(x)=在(0，+∞)上單調(diào)遞增；

(2)求證：當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)．

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