Question

方程cosx=lgx的實(shí)根的個(gè)數(shù)是

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

C
分析：同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=cosx和y=lgx的圖象，再分別討論兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的大小，可得當(dāng)x∈（0，10]時(shí)，兩曲線共有3個(gè)交點(diǎn)；而當(dāng)x∈（10，+∞）時(shí)，兩曲線沒有公共點(diǎn)．由此即可得到本題的答案．
解答：同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=cosx和y=lgx的圖象，如右圖所示
∵y=lgx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），呈增函數(shù)的趨勢(shì)
余弦曲線y=cosx在區(qū)間（0，π），（2π，3π）上是減函數(shù)，
在（π，2π），（3π，4π）上是增函數(shù)
∴當(dāng)x∈（1，π）時(shí)，兩個(gè)圖象有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x∈（π，3π）時(shí)，
兩個(gè)圖象有2個(gè)交點(diǎn)．
再對(duì)照?qǐng)D象，得兩曲線在（0，10]上共有3個(gè)交點(diǎn)
又∵當(dāng)x∈（10，+∞）時(shí)，y=cosx≤1，而y=lgx＞1
∴當(dāng)x∈（10，+∞）時(shí)，兩曲線沒有公共點(diǎn)
綜上所述，得方程cosx=lgx的實(shí)根的個(gè)數(shù)是：3個(gè)
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題給出含有余弦和對(duì)數(shù)的方程，求方程根的個(gè)數(shù)，著重考查了對(duì)數(shù)函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)等知識(shí)，屬于中檔題．