Question

已知二次函數y=x²-4x+5，分別求下列條件下函數的值域：
（1）x∈[-1，0]；
（2）x∈（1，3）；
（3）x∈（4，5]．

Answer 1

解：由題意得，y=x²-4x+5=（x-2）²+1，關于x=2對稱，如圖：

（1）由圖得，函數在[-1，0]上遞減，
則當x=0時，y=5．當x=-1時，y=10．
即當x∈[-1，0]時，y∈[5，10]．
（2）由圖得，函數在（1，2]上遞減，（2，3）上遞增，
則x∈（1，3）時，x=2時，y最小值為1．
當x=1或x=3時，y=2．
又∵x∈（1，3），∴點（1，2），（3，2）為虛點．
∴當x∈（1，3）時，y∈[1，2）．
（3）由圖得，函數在（4，5]上遞增，
當x∈（4，5]時，x=4時，對應值y=5，（4，5）為虛點．
當x=5時，y=10，（5，10）為實點．
∴當x∈（4，5]時，y∈（5，10]．
分析：先對解析式配方后求出對稱軸并畫出圖象，
（1）由圖判斷出函數在[-1，0]上遞減，再求出最大值和最小值，寫出函數的值域即可；
（2）由圖判斷出函數在（1，3）上單調性，再求出最大值和最小值，寫出函數的值域即可；
（3）由圖判斷出函數在（4，5]上遞減，再求出最大值和最小值，寫出函數的值域即可．
點評：本題考查了二次函數的單調性以及最值的應用，利用配方法化簡解析式再畫出圖象，注意區(qū)間的開或閉．