Question

8．已知向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（x，1）．
（1）若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，求x的值；
（2）若＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞為銳角，求x的范圍；
（3）當(dāng)（$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$）⊥（2$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）時(shí)，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的共線定理，列出方程求得x的值；
（2）當(dāng)＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞為銳角時(shí)，$\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0$，且$\overrightarrow a，\overrightarrow b$不同向，由此求出x的取值范圍；
（3）利用（$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$）⊥（2$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）時(shí)數(shù)量積為0，列出方程求出x的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（x，1），且$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，
∴1×1-2x=0，解得x=$\frac{1}{2}$；
（2）當(dāng)＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞為銳角時(shí)，$\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0$，且$\overrightarrow a，\overrightarrow b$不同向，
即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=x+2＞0，解得x＞-2；
又當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時(shí)，$\overrightarrow a，\overrightarrow b$同向，
∴x的取值范圍是x＞-2且$x≠\frac{1}{2}$；
（3）$\overrightarrow a+2\overrightarrow b=（1+2x，4）$，
$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=（2-x，3）$；
當(dāng)（$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$）⊥（2$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）時(shí)，
（2x+1）（2-x）+3×4=0，
即-2×2+3x+14=0，
解得：$x=\frac{7}{2}$或x=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．