已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.

（I）求動圓圓心的軌跡C的方程；

（II）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為和，當(dāng)，變化且+為定值（）時，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（I）圖略，設(shè)M為動圓圓心，（，0）為記為F，過點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為N，

由題意知：|MF|=|MN|即動點(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線的距離相等，

由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中F（，0）為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為

（II）圖略，設(shè)A（），B（），由題意得（否則）且

所以直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為，

顯然，將與聯(lián)立消去，得

由韋達(dá)定理知              (*)

1*    當(dāng)時，即時，

，∴

由（*）式知：

因此直線AB的方程可表示為：

∴直線AB恒過定點(diǎn)()

2*  當(dāng)時，由，得

==

將（*）式代入上式整理化簡，得： ，∴，

此時，直線AB的方程可表示為：即

∴直線AB恒過定點(diǎn)

∴由1*、2*知，當(dāng)時，直線恒過定點(diǎn)()，

當(dāng)時直線恒過定點(diǎn)。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（05年山東卷理）(14分)

已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.

（I）求動圓圓心的軌跡的方程；

（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切.

(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；

(2) 是否存在直線，使過點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分13分）已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切.

(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；(2) 是否存在直線，使過點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切．

(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；

(2) 是否存在直線，使過點(diǎn)，并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足

？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年浙江省高三第二次階段性考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分15分） 已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切，橢圓 的對稱軸為坐標(biāo)軸，一個焦點(diǎn)是，點(diǎn)在橢圓上．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程及其橢圓的方程；

（Ⅱ）若動直線與軌跡在處的切線平行，且直線與橢圓交于兩點(diǎn)，問：是否存在著這樣的直線使得的面積等于？如果存在，請求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．

 

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