Question

8．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，c_n=a_n+2a_n+1-a_n+1a_n，（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列；
（2）如果a₁+a₃+…+a₂₃=120，a₂+a₄+…+a₂₄=132-12k，（k為常數(shù)），求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，若數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使S_n當(dāng)且僅當(dāng)n=12時(shí)取得最小值，若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，證明c_n+1-c_n為常數(shù)即可．
（2）由a₁+a₃+…+a₂₃=120，a₂+a₄+…+a₂₄=132-12k，（k為常數(shù)），相減可得：d=1-k．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出c_n．
（3）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)k，使S_n當(dāng)且僅當(dāng)n=12時(shí)取得最小值，則a₁=11k-1＜0，d=1-k＞0，c₁₂=（1-k）（20k+10）＜0，c₁₃=（1-k）（20k+11）＞0．解出即可得出．

解答 （1）證明：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則c_n+1-c_n=a_n+3a_n+2-a_n+2a_n+1-（a_n+2a_n+1-a_n+1a_n）=2da_n+2-2da_n+1=2d²為常數(shù)，
∴數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列．
（2）解：∵a₁+a₃+…+a₂₃=120，a₂+a₄+…+a₂₄=132-12k，（k為常數(shù)），
∴12d=12-12k，可得d=1-k．
12a₁+$\frac{12×11}{2}×2d$=120，解得a₁=10-11d．
∴c_n=（a₃a₂-a₂a₁）+（n-1）d=2d（a₁+d）+（n-1）d=（1-k）（2a₁+n-2k+1）=（1-k）（20k+n-2）．
（3）解：假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)k，使S_n當(dāng)且僅當(dāng)n=12時(shí)取得最小值，
則a₁=10-11d=11k-1＜0，d=1-k＞0，c₁₂=（1-k）（20k+10）＜0，c₁₃=（1-k）（20k+11）＞0．
解得：-$\frac{11}{20}$$k＜-\frac{1}{2}$．
∴k的取值范圍是$（-\frac{11}{20}，-\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．