Question

【題目】二次函數f（x），又 的圖象與x軸有且僅有一個公共點，且f′（x）=1﹣2x．
（1）求f（x）的表達式．
（2）若直線y=kx把y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形的面積二等分，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設f（x）=ax2+bx+c，則f′（x）=2ax+b，

∵f′（x）=1﹣2x，∴a=﹣1，b=1，

∴ = 的圖象與x軸有且僅有一個公共點，

∴△=1+4（c﹣ ）=0，解得c=0，

則f（x）=x﹣x2

（2）解：由（1）得f（x）=x﹣x2圖象與x軸交點是（0，0）、（1，0），

如圖：直線y=kx和y=f（x）的圖象的交點為A，

由 得，x=1﹣k，

∵直線y=kx把y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形的面積二等分，

∴ dx= ，

即 ×（ ）= ，

，解得 ，

故k的值是 ．

【解析】（1）由題意設f（x）=ax2+bx+c，求出f′（x）后結合題意求出a、b，再代入 化簡，由題意和二次函數的性質令△=0求出c的值，代入解析式求出f（x）；（2）先求出f（x）=x﹣x2圖象與x軸交點坐標，再畫出圖象，并求出y=kx和y=f（x）的圖象的交點的橫坐標，結合題意和定積分知識列出方程，求出k的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減)．