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【題目】二次函數f(x),又 的圖象與x軸有且僅有一個公共點,且f′(x)=1﹣2x.
(1)求f(x)的表達式.
(2)若直線y=kx把y=f(x)的圖象與x軸所圍成的圖形的面積二等分,求k的值.

【答案】
(1)解:設f(x)=ax2+bx+c,則f′(x)=2ax+b,

∵f′(x)=1﹣2x,∴a=﹣1,b=1,

= 的圖象與x軸有且僅有一個公共點,

∴△=1+4(c﹣ )=0,解得c=0,

則f(x)=x﹣x2


(2)解:由(1)得f(x)=x﹣x2圖象與x軸交點是(0,0)、(1,0),

如圖:直線y=kx和y=f(x)的圖象的交點為A,

得,x=1﹣k,

∵直線y=kx把y=f(x)的圖象與x軸所圍成的圖形的面積二等分,

dx= ,

×( )= ,

,解得 ,

故k的值是


【解析】(1)由題意設f(x)=ax2+bx+c,求出f′(x)后結合題意求出a、b,再代入 化簡,由題意和二次函數的性質令△=0求出c的值,代入解析式求出f(x);(2)先求出f(x)=x﹣x2圖象與x軸交點坐標,再畫出圖象,并求出y=kx和y=f(x)的圖象的交點的橫坐標,結合題意和定積分知識列出方程,求出k的值.
【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數的性質(當時,拋物線開口向上,函數在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數在上遞增,在上遞減).

練習冊系列答案
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