Question

若f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|，x∈R，p₁、p₂為常數(shù)，且f（x）=

f1(x)，f1(x)≤f2(x) f2(x)，f1(x)＞f2(x)

，則使f（x）=f₁（x）對所有實數(shù)都成立的充要條件是

 

（用p₁、p₂表示）

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：將問題轉(zhuǎn)化為f₁（x）≤f₂（x），即3^{|x-p₁|-|x-p₂|}≤2對所有實數(shù)x均成立，解不等式求出即可．

解答： 解：由f（x）的定義可知，f（x）=f₁（x）（對所有實數(shù)x）等價于f₁（x）≤f₂（x）（對所有實數(shù)x），
這又等價于3^|x-p₁|≤2•3^|x-p₂|，即3^{|x-p₁|-|x-p₂|}≤2對所有實數(shù)x均成立，（*）
易知函數(shù)|x-p₁|-|x-p₂|（x∈R）的最大值為|p₂-p₁|，
故（*）等價于3^|p₂-p₁|≤2，即|p₂-p₁|≤log₃2，這就是所求的充分必要條件．
故答案為：|p₂-p₁|≤

log

2 3

．

點評：本題考查了充分必要條件，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．