Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=5，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）
（I）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（II）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)f'（1）并比較2f'（1）與23n²-13n的大�。�

Answer 1

分析：（I）根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n，得到n≥2時(shí)a_n+1和a_n關(guān)系式即a_n+1=2a_n+1，兩邊同加1得到a_n+1+1=2（a_n+1），最后驗(yàn)證n=1時(shí)等式也成立，進(jìn)而證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．
（II）通過(guò)（I）{a_n+1}的首項(xiàng)為5公比為2求得數(shù)列a_n+1的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得a_n的通項(xiàng)公式，代入f（x）進(jìn)而求出f'（x），再求得f‘（1），進(jìn)而求得2f‘（1）．要比較2f'（1）與23n²-13n的大小，只需看2f′（1）-（23n²-13n）于0的關(guān)系．

解答：解：（I）由已知S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），
可得n≥2，S_n=2S_n-1+n+4兩式相減得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1即a_n+1=2a_n+1
從而a_n+1+1=2（a_n+1）
當(dāng)n=1時(shí)S₂=2S₁+1+5所以a₂+a₁=2a₁+6又a₁=5所以a₂=11
從而a₂+1=2（a₁+1）
故總有a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N^*又a₁=5，a₁+1≠0
從而

an+1+1

an+1

=2即數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（II）由（I）知a_n=3×2ⁿ-1
因?yàn)閒（x）=a₁x+a₂x²++a_nxⁿ所以f′（x）=a₁+2a₂x++na_nx^n-1
從而f′（1）=a₁+2a₂++na_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）++n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²++n×2ⁿ）-（1+2++n）=3（n-1）•2ⁿ⁺¹-

n(n+1)

2

+6．
由上2f′（1）-（23n²-13n）=12（n-1）•2ⁿ-12（2n²-n-1）
=12（n-1）•2ⁿ-12（n-1）（2n+1）
=12（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]①
當(dāng)n=1時(shí)，①式=0所以2f'（1）=23n²-13n；
當(dāng)n=2時(shí)，①式=-12＜0所以2f'（1）＜23n²-13n
當(dāng)n≥3時(shí)，n-1＞0又2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹++C_n^n-1+C_nⁿ≥2n+2＞2n+1
所以（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]＞0即①＞0從而2f′（1）＞23n²-13n．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列中等比關(guān)系的確定．往往可以通過(guò)

an+1

an

=q，q為常數(shù)的形式來(lái)確定．