【題目】求所有的正整數(shù)、，使得是完全平方數(shù)．

【答案】見解析

【解析】

由

.

設(shè)，）．則

．

又.

設(shè)．則

.

于是，是完全平方數(shù)．

下面證明：不存在互質(zhì)的正整數(shù)，，使得是完全平方數(shù)．

假設(shè)存在，不妨設(shè)是滿足上述要求且使得其和最小的一組正整數(shù)．

因

，

且，知、不能同為偶數(shù)，所以，是奇數(shù)．

故

.

于是，與都是完全平方數(shù)．

由于與都是奇數(shù)，故可設(shè)

，

．

從而，，且．

于是，，一奇一偶（不妨設(shè)是偶數(shù)）．

記，，，（、、、為兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，且、都是奇數(shù)）．由對稱性不妨設(shè)．

則由，得

.

又，，整理得

（1）若則

因?yàn)?/span>是奇數(shù)，所以，由，知是偶數(shù)，是奇數(shù)．

于是，，矛盾．

（2）由

．

又是奇數(shù)，可設(shè)

，，．

代入，得．

故正整數(shù)對使得是完全平方數(shù)．

由于，這與的最小性矛盾．

（3）由

，這與矛盾．

（4）由

，

這與矛盾．

綜上，不存在互質(zhì)的正整數(shù)、，使得是完全平方數(shù)．

故不存在正整數(shù)、，使得是完全平方數(shù)．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)對心肺疾病入院的人進(jìn)行問卷調(diào)查，得到了如下的列聯(lián)表：

患心肺疾病

不患心肺疾病

合計(jì)

男

女

合計(jì)

（1）用分層抽樣的方法在患心肺疾病的人群中抽人，其中男性抽多少人？

（2）在上述抽取的人中選人，求恰好有名女性的概率；

（3）為了研究心肺疾病是否與性別有關(guān)，請計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量，你有多大把握認(rèn)為心肺疾病與性別有關(guān)？

下面的臨界值表供參考：

參考公式： ，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有（ ）

A.360種B.720種C.480種D.420種

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是某電視臺主辦的歌手大獎(jiǎng)賽上七位評委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖（其中為數(shù)字0~9中的一個(gè)），則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A. 甲選手的平均分有可能和乙選手的平均分相等

B. 甲選手的平均分有可能比乙選手的平均分高

C. 甲選手所有得分的中位數(shù)比乙選手所有得分的中位數(shù)低

D. 甲選手所有得分的眾數(shù)比乙選手所有得分的眾數(shù)高

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某醫(yī)藥公司研發(fā)一種新的保健產(chǎn)品，從一批產(chǎn)品中抽取200盒作為樣本，測量產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，該指標(biāo)值越高越好.由測量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求，并試估計(jì)這200盒產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的平均值；

（Ⅱ）① 用樣本估計(jì)總體，由頻率分布直方圖認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，計(jì)算該批產(chǎn)品指標(biāo)值落在上的概率；參考數(shù)據(jù)：附：若，則，.

②國家有關(guān)部門規(guī)定每盒產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)不低150均為合格，且按指標(biāo)值的從低到高依次分為：合格、優(yōu)良、優(yōu)秀三個(gè)等級，其中為優(yōu)良，不高于180為合格，不低于220為優(yōu)秀，在①的條件下，設(shè)公司生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬盒的成本為15萬元，市場上每盒該產(chǎn)品的等級售價(jià)（單位：元）如圖表，求該公司每萬盒的平均利潤.

等級

合格

優(yōu)良

優(yōu)秀

價(jià)格

10

20

30

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】計(jì)算機(jī)考試分理論考試與實(shí)際操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計(jì)算機(jī)考試“合格”，并頒發(fā)合格證書甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實(shí)際操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒有影響.

（1）假設(shè)甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試，誰獲得合格證書的可能性最大？

（2）這三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】端午節(jié)（每年農(nóng)歷五月初五），是中國傳統(tǒng)節(jié)日，有吃粽子的習(xí)俗.某超市在端午節(jié)這一天，每售出kg粽子獲利潤元，未售出的粽子每kg虧損元.根據(jù)歷史資料，得到銷售情況與市場需求量的頻率分布表，如下表所示.該超市為今年的端午節(jié)預(yù)購進(jìn)了kg粽子.以（單位：kg，）表示今年的市場需求量，（單位：元）表示今年的利潤.

市場需求量（kg）

頻率

0.1

0.2

0.3

0.25

0.15

（1）將表示為的函數(shù)；

（2）在頻率分布表的市場需求量分組中，以各組的區(qū)間中間值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中間值的概率（例如：若需求量，則取，且的概率等于需求量落入的頻率），求的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，的三條垂線、、交于點(diǎn)，是內(nèi)的任意一點(diǎn).求證：、、的外心、、三點(diǎn)共線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知，為拋物線：上兩點(diǎn)，為拋物線焦點(diǎn).分別過，作拋物線的切線交于點(diǎn).

（1）若，求；

（2）若，分別交軸于，兩點(diǎn)，試問的外接圓是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請說明理由.

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