Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點，H是PD上的動點，EH與平面PAD所成的角為θ．
（1）求證：平面AEF⊥平面PAD；
（2）求當θ取最大值為$\frac{π}{4}$時，二面角E-AF-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)菱形ABCD的邊長為2a，由余弦定理得AE=$\sqrt{3}a$，再由勾股定理得AE⊥BC，從而AE⊥AD，由線面垂直得PA⊥AE，由此能證明平面AEF⊥平面PAD．
（2）過E作EQ⊥AC，垂足為Q，過Q作QG⊥AF，垂足為G，連結(jié)GE，則∠ECQ是二面角E-AF-C的平面角，過點A作AH⊥PD，連結(jié)EH，則∠AHE是EH與面PAD所成的最大角，由此能求出二面角E-AF-C的正切值．

解答 證明：（1）設(shè)菱形ABCD的邊長為2a，
則AE²=（2a）²+a²-2a×a×cos60°=3a²，
∴AE=$\sqrt{3}a$，
∴BE²+AE²=AB²，∴AE⊥BC，
又AD∥BC，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，
又AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAD．
解：（2）過E作EQ⊥AC，垂足為Q，過Q作QG⊥AF，垂足為G，連結(jié)GE，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ，EQ⊥面PAC，
∴∠ECQ是二面角E-AF-C的平面角，
過點A作AH⊥PD，連結(jié)EH，
∵AE⊥面PAD，
∴∠AHE是EH與面PAD所成的最大角，
∵∠AHE=$\frac{π}{4}$，∴AH=AE=$\sqrt{3}a$，
AH•PD=PA•AD•2a•PA=$\sqrt{3}a•\sqrt{P{A}^{2}+（2a）^{2}}$，
PA=2$\sqrt{3}a$，
∴PC=4a，EQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CQ=$\frac{1}{2}a$，GQ=$\frac{3\sqrt{3}}{4}a$，
tan∠EGQ=$\frac{EQ}{GQ}=\frac{2}{3}$．
∴二面角E-AF-C的正切值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．