Question

8．如下命題中：
①在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B；
②若滿足條件C=60°，AB=$\sqrt{3}$，BC=a的△ABC有兩個，則$\sqrt{2}＜a＜\sqrt{3}$；
③在等比數(shù)列{a_n}中，若其前n項和S_n=3ⁿ+a，則實數(shù)a=-1；
④若向量$\vec a=（1，1）$，$\vec b=（1，-2）$，則向量$\vec a$在向量$\vec b$方向上的投影是$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
⑤空間中長度分別為1，2，3的線段OA、OB、OC兩兩相互垂直，若四點O、A、B、C在球面上，則該球的體積為$\frac{{7\sqrt{14}}}{3}$π；
其中正確的命題序號有①③⑤（把你認為正確的命題序號填在橫線上）．

Answer 1

分析 ①由正弦定理進行判斷，
②根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進行判斷，
③根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進行判斷，
④根據(jù)向量投影的公式進行判斷，
⑤根據(jù)長方體的體對角線和外接球的直徑相等進行求解．

解答 解：①在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，則A＞B成立，故①正確，
②若滿足條件C=60°，AB=$\sqrt{3}$，BC=a，則三角形的高AD=h=asinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
若滿足條件的△ABC有兩個，則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}＞\frac{\sqrt{3}}{2}a}\\{\sqrt{3}＜a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{a＞\sqrt{3}}\end{array}\right.$，得$\sqrt{3}$＜a＜2故②錯誤，
③在等比數(shù)列{a_n}中，若其前n項和S_n=3ⁿ+a，可得a₁=3+a，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2•3^n-1，a₂=6，a₃=18，則6²=18（3+a），解得a=-1，因此正確；
④若向量$\vec a=（1，1）$，$\vec b=（1，-2）$，則向量$\vec a$在向量$\vec b$方向上的投影為|$\vec a$|cos＜$\vec a$，$\vec b$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{1-2}{\sqrt{1+4}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，故④錯誤；
⑤空間中長度分別為1，2，3的線段OA、OB、OC兩兩相互垂直，若四點O、A、B、C在球面上，
則以O(shè)A、OB、OC為棱的長方體的體對角線為直徑，即2R=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{14}$．
則球半徑R=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，則該球的體積為$\frac{4}{3}•$π（$\frac{\sqrt{14}}{2}$）³=$\frac{{7\sqrt{14}}}{3}$π；故⑤正確，
故答案為：①③⑤

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，有一定的難度．