Question

17．已知函數(shù)$f（x）=2sinxcosx-\sqrt{3}cos2x+1$（x∈R）．
（1）化簡(jiǎn)f（x）并求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，
（2）$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=2sinxcosx-\sqrt{3}cos2x+1$（x∈R）．
化簡(jiǎn)可得：$f（x）=sin2x-\sqrt{3}cos2x+1$=$2sin（2x-\frac{π}{3}）+1$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上時(shí)，
易得$\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2}{3}π$，
于是$\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{3}）≤1$，
即2≤f（x）≤3，
∴當(dāng)$x=\frac{5π}{12}$時(shí)，f（x）_max=3；
當(dāng)$x=\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）_min=2．
故得f（x）在區(qū)間$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上的最大值為3，最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．