Question

2．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（-x），且當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）+xf'（x）＜0成立，若a=（2^0.6）•f（2^0.6），b=（ln2）•f（ln2），c=（${{{log}_2}\frac{1}{8}}$）•f（${{{log}_2}\frac{1}{8}}$），則a，b，c的大小關(guān)系是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． c＞b＞a
• C． a＞c＞b
• D． c＞a＞b

Answer 1

分析 根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)h（x）=xf（x），則a=h（2^0.6），b=h（ln2），c=（${{{log}_2}\frac{1}{8}}$）•f（${{{log}_2}\frac{1}{8}}$）=h（-3），分析可得h（x）為奇函數(shù)且在（-∞，0）上為減函數(shù)，進(jìn)而分析可得h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，分析有${{{log}_2}\frac{1}{8}}$＜0＜ln2＜1＜2^0.6，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，令h（x）=xf（x），
h（-x）=（-x）f（-x）=-xf（x）=-h（x），則h（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，h′（x）=f（x）+xf'（x）＜0，則h（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，
又由函數(shù)h（x）為奇函數(shù)，則h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
a=（2^0.6）•f（2^0.6）=h（2^0.6），b=（ln2）•f（ln2）=h（ln2），c=（${{{log}_2}\frac{1}{8}}$）•f（${{{log}_2}\frac{1}{8}}$）=h（${{{log}_2}\frac{1}{8}}$）=h（-3），
因?yàn)?{{{log}_2}\frac{1}{8}}$＜0＜ln2＜1＜2^0.6，
則有c＞a＞b；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)h（x）=xf（x），并分析h（x）的奇偶性與單調(diào)性．