Question

矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)M （2，0），AB邊所在直線的方程為：x-3y-6=0．若點(diǎn)N（1，-5）在直線AD上．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及矩形ABCD外接圓的方程；
（2）過(guò)直線x-y+4=0上一點(diǎn)P作（1）中所求圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為E、F，求四邊形PEMF面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求直線AD的方程，再與AB的方程聯(lián)立，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；ABCD外接圓的圓心為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，半徑r=|AM|=2，由此可得結(jié)論；
（2）先表示出四邊形PEMF面積，再轉(zhuǎn)化為求圓心到直線的距離即可．

解答：解：（1）∵AB邊所在直線的方程為：x-3y-6=0，∴且kAB=

1

3

，
∵A B⊥AD，∴k_AD=-3
∵點(diǎn)N（1，-5）在直線AD上
∴直線AD的方程為：y+5=-3（x-1）即3x+y+2=0             …1分
 由

3x+y+2=0 x-3y-6=0

，解得

x=0 y=-2

  即A（0，-2）…3分
∵ABCD是矩形，∴ABCD外接圓的圓心為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，即M（2，0），
  半徑r=|AM|=2．故其方程為（x-2）²+y²=8…6分
（2）由切線的性質(zhì)知：四邊形PEMF的面積S=|PE|•r=r

|PM|2-r2

=2

2

|PM|2-8

…9分
∴四邊形PEMF的面積取最小值時(shí)，|PM|最小，即為圓心M到直線x-y+4=0的距離d=3．…11分
∴四邊形PEMF的面積S的最小值2

2

×

10

=4

5

．…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查四邊形面積的求解，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確表示四邊形PEMF的面積是關(guān)鍵．