Question

如圖，直三棱柱OAB-O₁A₁B₁中，∠AOB=90°，M是側(cè)棱BB₁上一點(diǎn)，向量是平面OA₁M的一個(gè)法向量，則平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角為    （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

【答案】分析：由已知中，向量是平面OA₁M的一個(gè)法向量，結(jié)合直三棱柱OAB-O₁A₁B₁中，∠AOB=90°，易得=（0，0，1）為面OAB的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，求出平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角的余弦值，進(jìn)而可用反三角函數(shù)表示出平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角．
解答：解：∵棱柱OAB-O₁A₁B₁為直三棱柱
∴OO₁⊥平面∠OAB，
結(jié)合∠AOB=90°，可以以O(shè)的坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間坐標(biāo)系
則=（0，0，1）為面OAB的一個(gè)法向量
又∵向量是平面OA₁M的一個(gè)法向量
設(shè)平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角為θ，則
cosθ==
故平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角為arccos
故答案為：arccos
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，其中建立空間坐標(biāo)系，將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵，在解答中易忽略所求出平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角，而錯(cuò)解為arccos-．