Question

已知過(guò)A（0，1）和B（4，a）且與x軸相切的圓只有一個(gè)，求a的值及圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：用待定系數(shù)法求圓的方程，先設(shè)出圓的一般方程，因?yàn)辄c(diǎn)A（0，1）和B（4，a）在圓上，滿足圓的方程，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程，又因?yàn)閳A與x軸相切，所以圓心到x軸的距離等于半徑，而這樣的圓只有一個(gè)，所以由前面幾個(gè)條件化簡(jiǎn)得到的方程有唯一解，這樣就可求出參數(shù)的值，得到a的值和圓的方程．
解答：解：設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵點(diǎn)A、B在此圓上，∴E+F+1=0，①，4D+aE+F+a²+16=0②
又知該圓與x軸（直線y=0）相切，聯(lián)立方程
得，x²+Dx+F=0∴△=0，即D²-4F=0，③
由①、②、③消去E、F可得：，④
由題意方程④有唯一解，當(dāng)a=1時(shí)，D=-4，E=-5，F(xiàn)=4；
當(dāng)a≠1時(shí)由△=0可解得a=0，這時(shí)D=-8，E=-17，F(xiàn)=16．
綜上可知，所求a的值為0或1，當(dāng)a=0時(shí)圓的方程為x²+y²-8x-17y+16=0；當(dāng)a=1時(shí)，圓的方程為x²+y²-4x-5y+4=0．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求圓的方程，一般可通過(guò)已知條件，設(shè)出所求方程，再尋求方程組進(jìn)行求解．