Question

某企業(yè)2003年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元,因設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元.今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,第n年(今年為第一年)的利潤(rùn)為500(1+)萬(wàn)元(n為正整數(shù)).

(1)設(shè)從今年起的前n年,若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為A_n萬(wàn)元,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為B_n萬(wàn)元(需扣除技術(shù)改造資金),求A_n、B_n的表達(dá)式;

(2)依上述預(yù)測(cè),從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)?

Answer 1

解：(1)依題設(shè),A_n=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n²;

B_n=500［(1+)+(1+)+…+(1+)］-600=500n--100.

(2)B_n-A_n=(500n--100)-(490n-10n²)=10n²+10n--100=10［n(n+1)--10］.

    因?yàn)楹瘮?shù)y=x(x+1)--10在(0,+∞)上為增函數(shù),

    當(dāng)1≤n≤3時(shí),n(n+1)--10≤12--10＜0;

    當(dāng)n≥4時(shí),n(n+1)--10≥20--10＞0.

∴僅當(dāng)n≥4時(shí),B_n＞A_n.

∴至少經(jīng)過(guò)4年,該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn).