Question

2．已知函數f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0
（1）求函數f（x）的解析式
（2）當x∈[-3，2]時，求f（x）的最大值和最小值
（3）過點M（2，2）作曲線y=f（x）的切線l，求切線l的方程．

Answer 1

分析 （1）欲確定函數的表達式，先求導數fˊ（x），再根據導數的幾何意義求出切線的斜率，最后由函數圖象過點（1，-2）及斜率列出方程求出a，b，即可求函數f（x）的解析式；
（2）確定函數在[-3，-1]，[1，2]上單調遞增，在[-1，1]上單調遞減，即可求f（x）的最大值和最小值
（3）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先設切點坐標為（t，t³-3t），利用導數求出在x=t處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答 解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3．
根據題意，得f（1）=a+b-3=-2，f′（1）=3a+2b-3=0
解得a=1，b=0
所以f（x）=x³-3x．
（2）f'（x）=3x²-3，
∴函數在[-3，-1]，[1，2]上單調遞增，在[-1，1]上單調遞減，
∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴f（x）的最大值是2，最小值是-18；
（3）∵f′（x）=3x²-3，
設切點坐標為（t，t³-3t），
則切線方程為y-（t³-3t）=3（t²-1）（x-t），
∵切線過點M（2，2），∴2-（t³-3t）=3（t²-1）（2-t），
化簡得t³-3t²+4=0，∴t=-1或t=2．
∴切線的方程：y=2或9x-y-16=0．

點評 本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的極值、導數的幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．