Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線斜率為3，數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₅的值為（　�。�

• A． $\frac{2012}{2013}$
• B． $\frac{2013}{2014}$
• C． $\frac{2014}{2015}$
• D． $\frac{2015}{2016}$

Answer 1

分析 由已知得f′（1）=2+b=3，從而b=1，進(jìn)而$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，由此得到S_n=$\frac{n}{n+1}$，從而能求出S₂₀₁₅

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l的斜率為3，
∴f′（x）=2x+b，f′（1）=2+b=3，解得b=1，
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和數(shù)列求和的方法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．