Question

（1）求(1+2x－3x²)⁶的展開式中x⁵項(xiàng)的系數(shù);

（2）求(x+2y+3z)⁷的展開式中含x⁴y²z的項(xiàng)的系數(shù).

Answer 1

思路解析：（1）先將1+2x－3x²分解因式，把三項(xiàng)式化為兩個二項(xiàng)式的積，即(1+2x－3x²)⁶=(1+3x)⁶(1－x)⁶.然后分別寫出兩個二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，研究乘積項(xiàng)x⁵的系數(shù)，問題就可得到解決.根據(jù)不同的結(jié)構(gòu)特征靈活運(yùn)用二項(xiàng)式定理是本題的關(guān)鍵.（2）要用分步乘法計(jì)數(shù)原理.

解：（1）原式=(1+3x)⁶(1－x)⁶，其中(1+3x)⁶展開式的通項(xiàng)為T_k+1=C3^kx^k，(1－x)⁶展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C(－x)^r.

原式=(1+3x)⁶(1－x)⁶展開式的通項(xiàng)為CC(－1)r3^kx^k+r.

現(xiàn)要使k+r=5，又∵k∈{0，1，2，3，4，5，6}，r∈{0，1，2，3，4，5，6}，

故x⁵項(xiàng)系數(shù)為C3⁰C(－1)⁵+C3¹C(－1)⁴+C3²C(－1)³+C3³C(－1)²+C3⁴C(－1)+C3⁵C(－1)⁰=－168.

（2）因?yàn)?x+2y+3z)⁷可視為7個x+2y+3z相乘，展開式中含x⁴y²z的項(xiàng)應(yīng)取4個x，2個2y，1個3z，所以，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知x⁴y²z的系數(shù)為C·C2²·C3=1 260.

方法歸納  二項(xiàng)式定理是由兩個原理及排列與組合的知識導(dǎo)出的.對于能直接使用定理的情形可轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式定理的形式去求解，也可直接使用兩個原理及排列、組合的知識去求解.