Question

已知直線l與函數(shù)f（x）=lnx的圖象相切于點（1，0），且l與函數(shù)g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

（m＜0）的圖象也相切．
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）設(shè)h(x)=ag(x)-f(x)+2ax-

7

2

a，若h(x)≥

1

2

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x）得到斜率k=f′（1），且過（1，0），寫出直線方程即可．因為直線l與g（x）的圖象相切聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，消去y得到一元二次方程，根的判別式=0即可求出m；
（Ⅱ）把g（x）代入到h（x）得a大于一個函數(shù)，求出導函數(shù)=0時x的值，再根據(jù)自變量的取值范圍討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值，讓a大于最大值即可求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=

1

x

，直線l是函數(shù)f（x）=lnx的圖象在點（1，0）處的切線，
∴其斜率為k=f′（1）=1
∴直線l的方程為y=x-1．
又因為直線l與g（x）的圖象相切，
由

y=x-1 y= 1 2 x2+mx+ 7 2

?

1

2

x2+(m-1)x+

9

2

=0，
得△=（m-1）²-9=0?m=-2（m=4不合題意，舍去）
（Ⅱ）∵g(x)=

1

2

x2-2x+

7

2

由h(x)=

a

2

x2-2ax+

7a

2

-lnx+2ax-

7a

2

=

a

2

x2-lnx≥

1

2

恒成立，
得a≥

1+2lnx

x2

(x＞0)恒成立
設(shè)?(x)=

1+2lnx

x2

，則?′(x)=

-4lnx

x3

當0＜x＜1時，?′（x）＞0；當x＞1時，?′（x）＜0．
于是，?（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
故φ（x）的最大值為?_max（x）=?（1）=1
要使a≥?（x）恒成立，只需a≥1，
∴a的取值范圍為[1，+∞）

點評：考查學生理解函數(shù)恒成立時取條件的能力，明白導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)求曲線上某點切線方程的能力．