Question

已知直線l與函數(shù)f（x）=lnx的圖象相切于點(diǎn)（1，0），且l與函數(shù)g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

（m＜0）的圖象也相切．
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g(shù)′（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)h（x）的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求證：f(1+a)-f(2)＜

a-1

2

．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線斜率等于f'（1），從而可得到切線方程，最后切線方程與函數(shù)g（x）聯(lián)立可求出m的值．
（2）根據(jù)（1）中m的值可先確定函數(shù)g（x）的解析式，然后對(duì)其求導(dǎo)代入函數(shù)h（x）中確定其解析式，再對(duì)函數(shù)h（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可確定最大值．
（3）先對(duì)f（1+a）-f（2）進(jìn)行整理變形為f(1+a)-f(2)=ln(1+

a-1

2

)，再根據(jù)（2）可得到當(dāng)-1＜x＜0時(shí)h（x）＜2，即ln（1+x）＜x，可得證．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=

1

x

，直線l是函數(shù)f（x）=lnx的圖象在點(diǎn)（1，0）處的切線，
∴其斜率為k=f′（1）=1
∴直線l的方程為y=x-1．
又因?yàn)橹本�l與g（x）的圖象相切
∴

y=x-1 y= 1 2 x2+mx+ 7 2

?

1

2

x2+(m-1)x+

9

2

=0，
得△=（m-1）²-9=0?m=-2（m=4不合題意，舍去）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)=

1

2

x2-2x+

7

2

∴h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1），
∴h′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．（x＞-1）
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＜0．
于是，h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
所以，當(dāng)x=0時(shí)，h（x）取得最大值h（0）=2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h（x）＜2，即ln（1+x）＜x，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，-1＜

a-1

2

＜0
∴f(1+a)-f(2)=ln

1+a

2

=ln(1+

a-1

2

)＜

a-1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的問(wèn)題．