Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx+c（a≠0）為奇函數(shù)，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線x+6y-7=0垂直，且在x²=2處取得極值．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先根據(jù)奇函數(shù)求出c的值，再根據(jù)函數(shù)在x²=2處取得極值及圖象在點（1，f（1））處的切線與直線x+6y-7=0垂直，求得a，b；
（Ⅱ）先求導(dǎo)數(shù)f′（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求得區(qū)間即為單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx+c（a≠0）為奇函數(shù)，
∴c=0，
∵f（x）=ax³+bx+c（a≠0），在x²=2處取得極值．
∵f′（x）=3ax²+b
∴6a+b=0，①
又直線x-6y-7=0的斜率為-

1

6

，
因此，f′（1）=3a+b=6，②
∴由①②解得a=-2，b=12，
∴a=-2，b=12，c=0．
（Ⅱ）f（x）=-2x³+12x．f′（x）=-6x²+12=-6（x-

2

）（x+

2

），列表如下：

x	（-∞，- 2 ）	- 2	（- 2 ， 2 ）	2	（ 2 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-

2

，

2

），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-

2

）和（

2

，+∞），
∵f（-1）=-10，f（

2

）=8

2

，f（3）=-18，
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（

2

）=8

2

，最小值是f（3）=-18．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，以及推理能力和運(yùn)算能力．