Question

  已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)A（-2,0）與點(diǎn)B（2,0）的斜率之積為，點(diǎn)P的軌跡為曲線C。

(Ⅰ)求曲線C的方程；

(Ⅱ)若點(diǎn)Q為曲線C上的一點(diǎn)，直線AQ，BQ與直線x=4分別交于M、N兩點(diǎn)，直線BM與橢圓的交點(diǎn)為D。求線段MN長(zhǎng)度的最小值。

 

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)，由題意知  ，即

化簡(jiǎn)得曲線C方程為：

（Ⅱ）思路一

滿足題意的直線的斜率顯然存在且不為零，設(shè)其方程為，

由（Ⅰ）知，所以，設(shè)直線方程為，

當(dāng)時(shí)得點(diǎn)坐標(biāo)為，易求點(diǎn)坐標(biāo)為

所以=，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度有最小值.

思路二：滿足題意的直線的斜率顯然存在且不為零，設(shè)其方程為，

聯(lián)立方程：

消元得，

設(shè)，，

由韋達(dá)定理得：，

所以，代入直線方程得，

所以，又

所以直線BQ的斜率為

以下同思路一

思路三：設(shè)，則直線AQ方程為

直線BQ的方程為

當(dāng)，得，即

當(dāng)，得，即

則

又

所以

利用導(dǎo)數(shù)，或變形為二次函數(shù)求其最小值。