Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷并證明f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）解不等式f（x-1）＜-f（x）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得，f（-x）=-f（x），代入可求b，然后由且f(

1

2

)=

2

5

可求a，進(jìn)而可求函數(shù)解析式；
（Ⅱ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

，結(jié)合已知x的范圍判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）由已知可得f（x-1）＜-f（x）=f（-x），結(jié)合函數(shù)在（-1，1）上單調(diào)遞增可求x的范圍；

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即

-ax+b

1+(-x)2

=-

ax+b

1+x2

，
∴-ax+b=-ax-b，∴b=0，
∵f(

1

2

)=

2

5

，
∴

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

，解得a=1，
∴f（x）=

x

1+x2

；
（Ⅱ）f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，證明如下：
∵f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

，
∵-1＜x＜1時(shí)，

1-x2

(1+x2)2

＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）∵f（x）為（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（x-1）＜-f（x）=f（-x），
由（Ⅱ）知函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，
∴

-1＜x-1＜1 -1＜x＜1 x-1＜-x

，解得0＜x＜

1

2

，
∴f（x-1）＜-f（x）的解集為（0，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇函數(shù)定義的應(yīng)用及待定系數(shù)求解函數(shù)的解析式，考查了函數(shù)的單調(diào)性在不等式的求解中的應(yīng)用．