Question

19．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=AA₁=1，BC=2，求異面直線AC與DB₁所成角的大�。�

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，建立如圖所示空間直角坐標系，求出$\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{D{B}_{1}}$所成角的余弦值的絕對值得答案．

解答 解：如圖，建立空間直角坐標系，
∵AB=AA₁=1，BC=2，
∴D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，1，0），B₁（2，1，1）．
則$\overrightarrow{AC}=（-2，1，0），\overrightarrow{D{B}_{1}}=（2，1，1）$，

∴異面直線AC與DB₁所成角的余弦值cosθ=|$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{D{B}_{1}}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{D{B}_{1}}|}$|=|$\frac{-4+1}{\sqrt{5}×\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴異面直線AC與DB₁所成角的大小為arccos$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故答案為：arccos$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

點評 本題考查異面直線所成的角，考查了利用空間向量求異面直線所成角，是中檔題．