Question

某城市計劃在如圖所示的空地ABCD上豎一塊長方形液晶廣告屏幕MNEF，宣傳該城市未來十年計劃、目標等相關政策．已知四邊形ABCD是邊長為30m的正方形，電源在點P處，點P到邊AD、AB的距離分別為9m，3m，且MN～NE=16～9，線段MN必過點P，端點M、N分別在邊AD、AB上，設AN=xm，液晶廣告屏幕MNEF的面積為Sm²．
（1）求S關于x的函數關系式及其定義域；
（2）若液晶屏每平米造價為1500元，當x為何值時，液晶廣告屏幕MNEF的造價最低？

Answer 1

解：（1）由題意，在△AMN中，，
∴，∴AM=
∴MN==
∵0≤AM≤30，0≤x≤30，，10≤x≤30
∴S=，其定義域為[10，30]；
（2）由題意，要使液晶廣告屏幕MNEF的造價最低，即使液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小
設（x∈[10，30]），則
令f′（x）=0，的x=
因為時，f'（x）＜0；時，f'（x）＞0，
所以時，S取得最小值，即液晶廣告屏幕MNEF的造價最低．
故當時，液晶廣告屏幕的造價最低．
分析：（1）先確定AM、MN的長，進而可得S關于x的函數關系式及其定義域；
（2）要使液晶廣告屏幕MNEF的造價最低，即使液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小，利用導數的方法，即可求得結論．
點評：本題考查四邊形面積的計算，考查導數知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．