Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（1）求證：BD⊥平面AED；
（2）求二面角F-BD-C的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件利用余弦定理求出BD=

3

CD=

3

AD，從而得到△ABD是直角三角形，且AD⊥DB，由此能夠證明BD⊥平面AED．
（2）過C作CM⊥BD交BD于M，由已知條件推導(dǎo)出FC⊥BD，從而得到∠FMC為二面角F-BD-C的平面角，由此能求出二面角F-BD-C的正切值．

解答： （1）證明：在等腰直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD，
由余弦定理得BD²=CD²+CB²-2CD•CB•cos（180°-∠DAB）=3CD²，
∴BD=

3

CD=

3

AD，
在△ABD中，∠DAB=60°，BD=

3

AD，∴△ABD是直角三角形，且AD⊥DB，
又AE⊥BD，AD?平面AED，且AD∩AE=A，
∴BD⊥平面AED．
（2）解：過C作CM⊥BD交BD于M，
∵FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴FC⊥BD，
又FC∩CM=C，
∴BD⊥平面FCM，
∴CM⊥BD，F(xiàn)M⊥BD，
故∠FMC為二面角F-BD-C的平面角．…（9分）
在△CDB中，CD=CB，∠DCB=120°，∴CM=

1

2

CB=

1

2

CF，
∴tan∠FMC=

FC

CM

=2．即二面角F-BD-C的正切值為2．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．