Question

1．設(shè)a，b∈R，且a≠1，若奇函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+ax}{1+x}$在區(qū)間（-b，b）上有定義．
（1）求a的值；
（2）求b的取值范圍．
（3）求解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）直接由奇函數(shù)的定義列式求得a值；
（2）把（1）中求得的a值代入函數(shù)解析式，由真數(shù)大于0求得函數(shù)的定義域，則b的取值范圍可求；
（3）化對(duì)數(shù)不等式為分式不等式求解．

解答 解：（1）∵f（x）=lg$\frac{1+ax}{1+x}$是定義域內(nèi)的奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，即$lg\frac{1-ax}{1-x}+lg\frac{1+ax}{1+x}=lg\frac{1-{a}^{2}{x}^{2}}{1-{x}^{2}}=0$，
∴$\frac{1-{a}^{2}{x}^{2}}{1-{x}^{2}}=1$恒成立，即（a²-1）x²=0恒成立，
∵a≠1，∴a=-1；
（2）$f（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$，由$\frac{1-x}{1+x}＞0$，解得-1＜x＜1，
由奇函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+ax}{1+x}$在區(qū)間（-b，b）上有定義，得0＜b≤1；
（3）由f（x）＞0，得$lg\frac{1-x}{1+x}＞0$，∴$\frac{1-x}{1+x}＞1$，
∴$\frac{1-x}{1+x}-1＞0$，即$\frac{2x}{x+1}＜0$，解得-1＜x＜0．
∴不等式f（x）＞0的解集為（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，訓(xùn)練了對(duì)數(shù)不等式與分式不等式的解法，是中檔題．