ABCD是邊長為a的正方形，M，N分別為DA，BC邊上的點(diǎn)，并且MN∥AB交AC于O點(diǎn)，沿MN折成直二面角AB-MN-CD，如圖所示．

    （1）求證：不論MN怎樣平行移動(dòng)(AB∥MN)，ÐAOC的大小不變；

    （2）當(dāng)MN在怎樣的位置時(shí)，點(diǎn)N到平面ACD的距離有最大值，并求出這個(gè)最大值．

答案：
解析：

（1）證明：設(shè)AM=BN=x，則MD=NC=a-x，AM與CN的公垂線為MN=a．

    ∴ AC2=AM2+NC2+MN2=x2+(a-x)2+a2=2(x2+a2-ax)

    又OC2=[(a-x)]2=2(a-x)2，

    OA2=2x2，在DAOC中，

   

　　 ÐAOC=120°．因此，不論MN怎樣平行移動(dòng)，ÐAOC=120°定值．

    （2）解：∵ MN∥CD，CDÌ平面ACD， MN∥平面ACD．

    ∴ 點(diǎn)N到平面ACD的距離就是點(diǎn)M到平面ACD的距離．

    作MP^AD于P，MN^MA，MN^MD．∴ MN^平面MAD．

    又MPÌ平面MAD．∴ MN^MP．

    又CD∥MN，∴ MP^CD．

    又AD∩CD=D，∴ MP^平面ADC．

    ∵ MP為點(diǎn)N到平面ACD的距離．

   

    ∵ MA+MD=a常數(shù)，

    ∴ 當(dāng)MN=MD=時(shí)，即M為正方形ABCD的邊AD的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)N也為邊BC的中點(diǎn)，MA×MD有最大值．∴ MP的最大值為a．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．
（I）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（II）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，M為OC中點(diǎn)，若二面角O-PM-D的正切值為2
6
，求a：b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•順河區(qū)一模）選做題：幾何證明選講
如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點(diǎn)F，延長CF交AB于E．
（1）求證：E是AB的中點(diǎn)；
（2）求線段BF的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，ABCD是邊長為a的正方形，△PBA是以角B為直角的等腰三角形，H為BD上一點(diǎn)，且AH⊥平面PDB．
（Ⅰ）求證：平面ABCD⊥平面APB；
（Ⅱ）求直線PC與平面PDB所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的菱形，且∠ABC=60°，側(cè)棱長為
2
2
a，若經(jīng)過AB1且與BC1平行的平面交上底面線段A1C1于點(diǎn)E．
（1）試求AE的長；
（2）求證：A1C⊥平面AB1E．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA=a，PB=PC=
2
a，則它的五個(gè)面中，互相垂直的面是
 
．

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