已知橢圓
C:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409449717.png)
=1(
a>
b>0)的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)關(guān)系,直線
l:
x-
y+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409652344.png)
=0與以原點為圓心, 以橢圓
C的短半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓
C的方程;
(2)設(shè)
M是橢圓的上頂點,過點
M分別作直線
MA,
MB交橢圓于
A,
B兩點,設(shè)兩直線的斜率分別為
k1,
k2,且
k1+
k2=4,證明:直線
AB過定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409667546.png)
.
(1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409699451.png)
+
y2=1.(2)見解析
(1)∵等軸雙曲線離心率為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409652344.png)
,∴橢圓
C的離心率
e=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409730413.png)
.
∴
e2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409745688.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409777338.png)
,∴
a2=2
b2.
∵由
x-
y+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409652344.png)
=0與圓
x2+
y2=
b2相切,得
b=1,∴
a2=2.
∴橢圓
C的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409699451.png)
+
y2=1.
(2)證明 ①若直線
AB的斜率不存在,設(shè)方程為
x=
x0,則點
A(
x0,
y0),
B(
x0,-
y0).
由已知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409855723.png)
=4,得
x0=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409777338.png)
.
此時
AB方程為
x=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409777338.png)
,顯然過點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409667546.png)
.
②若直線
AB的斜率存在,設(shè)
AB方程為
y=
kx+
m,依題意
m≠±1.
設(shè)
A(
x1,
y1),
B(
x2,
y2),由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240344099331079.png)
得(1+2
k2)
x2+4
kmx+2
m2-2=0.
則
x1+
x2=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409948682.png)
,
x1x2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409995718.png)
.
由已知
k1+
k2=4,可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034410011505.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034410026536.png)
=4,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034410042658.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034410057687.png)
=4,即2
k+(
m-1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034410073560.png)
=4,將
x1+
x2,
x1x2代入得
k-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034410104543.png)
=2,∴
k=2(
m+1),
∴
m=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034410120423.png)
-1.故直線
AB的方程為
y=
kx+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034410120423.png)
-1,
即
y=
k![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034410151562.png)
-1.
∴直線
AB過定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409667546.png)
.
綜上,直線
AB過定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034409667546.png)
.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041319866843.png)
的焦點為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041319881303.png)
,點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041319897609.png)
,線段
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041319913399.png)
的中點在拋物線上. 設(shè)動直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041319913679.png)
與拋物線相切于點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041319928296.png)
,且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041319944341.png)
,以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041319975409.png)
為直徑的圓記為圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041319975319.png)
.
(1)求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041319991319.png)
的值;
(2)證明:圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041319975319.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041320022271.png)
軸必有公共點;
(3)在坐標(biāo)平面上是否存在定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041320037395.png)
,使得圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041319975319.png)
恒過點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041320037395.png)
?若存在,求出
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041320037395.png)
的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240357256431032.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240357256591137.png)
的離心率相等. 直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725674744.png)
與曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725690339.png)
交于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725706427.png)
兩點(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725737300.png)
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725752315.png)
的左側(cè)),與曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725768372.png)
交于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725784423.png)
兩點(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725815309.png)
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725815313.png)
的左側(cè)),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725830292.png)
為坐標(biāo)原點,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725846576.png)
.
(1)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725877337.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725893453.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725908596.png)
時,求橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725924458.png)
的方程;
(2)若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725940879.png)
,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725955569.png)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725971532.png)
相似,求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035725877337.png)
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034202387854.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034202402598.png)
過點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034202418415.png)
,離心率為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034202434367.png)
.
(1)求橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034202480308.png)
的方程;
(2)求過點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034202496431.png)
且斜率為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034202512346.png)
的直線被橢圓所截得線段的中點坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033607346313.png)
:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033607361675.png)
,直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033607377570.png)
交橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033607346313.png)
于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033607408429.png)
兩點.
(Ⅰ)求橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033607346313.png)
的焦點坐標(biāo)及長軸長;
(Ⅱ)求以線段
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033607439396.png)
為直徑的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,點
P(0,-1)是橢圓
C1:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035042851717.png)
=1(
a>
b>0)的一個頂點,
C1的長軸是圓
C2:
x2+
y2=4的直徑.
l1,
l2是過點
P且互相垂直的兩條直線,其中
l1交圓
C2于
A,
B兩點,
l2交橢圓
C1于另一點
D.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240350428664319.jpg)
(1)求橢圓
C1的方程;
(2)求△
ABD面積取最大值時直線
l1的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
橢圓C的焦點在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034502349266.png)
軸上,焦距為2,直線n:x-y-1=0與橢圓C交于A、B兩點,F(xiàn)
1是左焦點,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034502364568.png)
,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
過雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240342532741113.png)
左焦點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034253290333.png)
且傾斜角為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034253305356.png)
的直線交雙曲線右支于點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034253321289.png)
,若線段
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034253336396.png)
的中點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034253352333.png)
落在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034253368310.png)
軸上,則此雙曲線的離心率為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
過點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034050439603.png)
的雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034050517306.png)
的漸近線方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034050533704.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034050549290.png)
為雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034050517306.png)
右支上一點,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034050580303.png)
為雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034050517306.png)
的左焦點,點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034050627539.png)
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034050642574.png)
的最小值為
.
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