Question

12．函數(shù)$f（x）=\frac{x+1}{e^x}$，$g（x）=\frac{alnx}{x}$，（a＞0）．若對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，都存在正數(shù)x₂，使得g（x₂）=f（x₁）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[e，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的值域和g（x）的值域，根據(jù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，都存在正數(shù)x₂，使得g（x₂）=f（x₁）成立，得出f（x）_max≤g（x）_max，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{x+1}{e^x}$，
∴f′（x）=-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
∴x＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴f（x）的極大值也是最大值為f（0）=$\frac{1}{{e}^{0}}$=1；
且f（x）≤1；
又$g（x）=\frac{alnx}{x}$，（a＞0），
∴g′（x）=a•$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，得1=lnx，即x=e；
∴0＜x＜e是，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
x＞e是，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
∴g（x）的最大值是g（e）=$\frac{a}{e}$，
且g（x）≤$\frac{a}{e}$；
又對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，都存在正數(shù)x₂，使得g（x₂）=f（x₁）成立，
∴f（x）_max≤g（x）_max，
即1≤$\frac{a}{e}$，解得a≥e；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[e，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的最值與值域的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是較難的題目．