Question

（2012•河北模擬）如圖，在等腰梯形ABCD中，CD=2，AB=4，AD=BC=

2

，E、F分別為CD、AB中點(diǎn)，沿EF將梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，點(diǎn)G為FB的中點(diǎn)．
（1）求證：AG⊥平面BCEF
（2）求DG的長度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折后EF⊥AF，EF⊥BF，可得EF⊥平面ABF，所以EF⊥AG，結(jié)合等邊△ABF中AG⊥BF，利用線面垂直的判定定理，即可證出AG⊥平面BCEF；
（2）取EC中點(diǎn)M，連接MC、MD、MG，可證出平面DCE∥平面ABF，從而AG∥DM，得到DM⊥平面BCEF．再在梯形BFEC中證出四邊形EFGC是平行四邊形，從而EF∥CG．然后在Rt△BCG中，算出CG=1，在Rt△GCM中，算出GM=

5

2

，最后在Rt△GDM中，得到DG=

2

．

解答：解：（1）∵AF=BF且∠AFB=60°，
∴△ABF是等邊三角形
又∵G是FB的中點(diǎn)，∴AG⊥BF
∵翻折前的等腰梯形ABCD中，E、F分別是CD、AB的中點(diǎn)，
∴EF⊥AB，可得翻折后EF⊥AF，EF⊥BF
∵AF、BF是平面ABF內(nèi)的相交直線，∴EF⊥平面ABF
∵AG?平面ABF，∴AG⊥EF，
∵BF、EF是平面BCEF內(nèi)的相交直線，
∴AG⊥平面BCEF
（2）取EC中點(diǎn)M，連接MC、MD、MG
∵AF∥DE，AF?平面ABF，DE?平面ABF，∴DE∥平面ABF，同理可得：CE∥平面ABF，
∵DE、CE是平面DCE內(nèi)的相交直線，∴平面DCE∥平面ABF，可得AG∥DM
∵AG⊥平面BCEF，∴DM⊥平面BCEF，
∵M(jìn)G?平面BCEF，∴DM⊥MG，
∵梯形BFEC中，EC=FG=BG=1，BF∥EC，∴四邊形EFGC是平行四邊形，可得EF∥CG
∵EF⊥平面ABF，∴CG⊥平面ABF，可得CG⊥BG
Rt△BCG中，BG=1，BC=

2

，可得CG=

BC2-BG2

=1
∴Rt△GCM中，GM=

GC2+CM2

=

5

2

又∵DM=

3

2

CE=

3

2

，
∴Rt△GDM中，DG=

GM2+DM2

=

2

點(diǎn)評：本題以一個(gè)平面翻折問題為載體，證明了線面垂直并且求出了兩點(diǎn)之間的距離，著重考查了空間平行、垂直位置關(guān)系的證明和距離計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．