Question

函數(shù)y=4sin²x+6cosx-6( -

π

3

≤x≤

2π

3

 )的值域是（　�。�

• A．[-6，0]
• B．[ -6 ， 

  1

  4

   ]
• C．[ -12 ， 

  1

  4

   ]
• D．[ 0 ， 

  1

  4

   ]

Answer 1

分析：同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系sin²x+cos²x=1化簡(jiǎn)函數(shù)解析式的第一項(xiàng)，把函數(shù)解析式化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)，并配方為頂點(diǎn)形式，由x的范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出cosx的值域，即為二次函數(shù)自變量的取值范圍，根據(jù)題意畫出二次函數(shù)的圖象，由圖象可得函數(shù)的最小值及最大值，即可得到函數(shù)的值域．

解答：解：函數(shù)y=4sin²x+6cosx-6
=4（1-cos²x）+6cosx-6
=-4（cosx-

3

4

）²+

1

4

，
∵-

π

3

≤x≤

2π

3

，∴-

1

2

≤cosx≤1，
根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，如圖所示：

根據(jù)圖象可得當(dāng)cosx=-

1

2

時(shí)，函數(shù)y=-4（cosx-

3

4

）²+

1

4

取得最小值，最小值為-6，
當(dāng)cosx=

3

4

時(shí)，函數(shù)y=-4（cosx-

3

4

）²+

1

4

取得最大值，最大值為

1

4

，
則函數(shù)的值域?yàn)閇-6，

1

4

]．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，其中把函數(shù)解析式化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)，并畫出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵．