Question

16．已知圓C的方程：x²+y²-4x-6y+m=0，若圓C與直線a：x+2y-3=0相交于M、N兩點，且|MN|=2$\sqrt{3}$．
（1）求m的值；
（2）是否存在直線l：x-y+c=0，使得圓上有四點到直線l的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若存在，求出c的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由方程x²+y²-4x-6y+m=0配方為（x-2）²+（y-3）²=13-m．由于此方程表示圓，可得13-m＞0，解出m的范圍，利用弦心距與半徑半弦長的關(guān)系，求解m即可．
（2）求出圓心與半徑，利用半徑與圓的圓心到直線的距離的差大于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列出不等式求解即可．

解答 解：（1）方程x²+y²-4x-6y+m=0配方為（x-2）²+（y-3）²=13-m．
∵此方程表示圓，
∴13-m＞0，即m＜13．r=$\sqrt{13-m}$，
圓C與直線a：x+2y-3=0相交于M、N兩點，且|MN|=2$\sqrt{3}$．
圓的圓心到直線的距離為：d=$\frac{|2+6-3|}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
可得$（{\sqrt{5}）}^{2}=（{\sqrt{13-m}）}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}$．
即：5=13-m-3，解得m=5．
（2）（x-2）²+（y-3）²=8．圓的圓心（2，3），半徑為2$\sqrt{2}$
直線l：x-y+c=0，使得圓上有四點到直線l的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則圓心C（2，3）到直線l：x-y+c=0的距離為：$\frac{|2-3+c|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|c-1|}{\sqrt{2}}$，
可得：2$\sqrt{2}$-$\frac{|c-1|}{\sqrt{2}}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得-2＜c＜4．

點評 本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用，直線與圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題．