Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且
，
其中為常數(shù).
(Ⅰ)求與的值；
(Ⅱ)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(Ⅲ)證明：不等式對任何正整數(shù)都成立.

Answer 1

，.

解：（Ⅰ）由已知，得，，.
由，知
   即
解得   ，.
（Ⅱ）方法1
由（Ⅰ），得 ，            ①
所以        .          ②
②-①，得   ，   ③
所以        .  ④
④-③，得   .
因?yàn)?nbsp;       ，
所以        .
又因?yàn)?nbsp;     ，
所以        ，
即          ，.
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
方法2
由已知，得，
又，且，
所以數(shù)列是唯一確定的，因而數(shù)列是唯一確定的.
設(shè)，則數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和.
于是  ，
由唯一性得  ，即數(shù)列為等差數(shù)列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，.
要證      ，
只要證    .
因?yàn)?nbsp;     ，，
故只要證  ，
即只要證  .
因?yàn)?nbsp;     

，
所以命題得證.