Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，

∴當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；

當(dāng)x＞2時(shí)，3≥1恒成立，故x＞2；

綜上，不等式f（x）≥1的解集為{x|x≥1}．

（2）

原式等價(jià)于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，

即m≤[f（x）﹣x2+x]max，設(shè)g（x）=f（x）﹣x2+x．

由（1）知，g（x）= ，

當(dāng)x≤﹣1時(shí)，g（x）=﹣x2+x﹣3，其開口向下，對(duì)稱軸方程為x= ＞﹣1，

∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；

當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其開口向下，對(duì)稱軸方程為x= ∈（﹣1，2），

∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ；

當(dāng)x≥2時(shí)，g（x）=﹣x2+x+3，其開口向下，對(duì)稱軸方程為x= ＜2，

∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；

綜上，g（x）max= ，

∴m的取值范圍為（﹣∞， ]．

【解析】（1.）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2與x＞2兩類討論即可解得不等式f（x）≥1的解集；
（2.）依題意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max ， 設(shè)g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三類討論，可求得g（x）max= ，從而可得m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最�。ù螅�數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，以及對(duì)絕對(duì)值不等式的解法的理解，了解含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．