設(shè)a，b，c為△ABC的三條邊，求證：a2＋b2＋c2＜2ab＋2bc＋2ac．

答案：
解析：

　　證法一：在△ABC中，a＜b＋c，b＜a＋c，c＜b＋a，則a2＜a(b＋c)，b2＜b(a＋c)，c2＜c(b＋a)．

　　∴a2＋b2＋c2＜a(b＋c)＋b(a＋c)＋c(a＋b)，

　　即a2＋b2＋c2＜2ab＋2bc＋2ac．

　　證法二：在△ABC中，設(shè)a＞b＞c，∴0＜a－b＜c，0＜b－c＜a，0＜a－c＜b．

　　∴(a－b)2＜c2，(b－c)2＜a2，(a－c)2＜b2．

　　∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＜c2＋a2＋b2．

　　即a2＋b2＋c2＜2ab＋2bc＋2ac．

　　證法三：在△ABC中，設(shè)a，b，c三邊所對的角分別為A，B，C，則由余弦定理，得

　　a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．

　　則a2＋b2＋c2＝(b2＋c2－2bccosA)＋(a2＋c2－2accosB)＋(a2＋b2－2abcosC)，

　　即a2＋b2＋c2＝2abcosC＋2bccosA＋2accosB．

　　又在△ABC中，cosA＜1，cosB＜1，cosC＜1，

　　∴2abcosC＋2bccosA＋2accosB＜2ab＋2bc＋2ca．

　　∴a2＋b2＋c2＜2ab＋2bc＋2ac．

　　思路分析：本題看似是一道與公式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)有關(guān)的題目，又似與二次函數(shù)有關(guān)，但實際上這兩種思路都達不到目的．其實本題的關(guān)鍵在于△ABC中隱含的a，b，c的關(guān)系．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+
π
6
)+sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，若AB=1，sinB=
1
3
，f(
C
2
)=
3
2
，求AC的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-
π
3
）-
1
2
cos2x+1
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最大值；
（2）設(shè)A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，若AB=1，sinB=
1
3
，f(
2C
3
)=
7
4
，且C為銳角，求AC的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有下列幾個命題：①若
a
與
b
-
c
都是非零向量，則“
a
•
b
=
a
•
c
”是“
a
⊥(
b
-
c
)”的充要條件；②已知等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是
15
7
；③在平面直角坐標系xoy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，已知點A（-2，0），B（6，8），C（8，6），則D點的坐標為（0，-1）；④設(shè)
a
，
b
，
c
為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足
a
與
b
不共線，
a
⊥
c
，|
a
|=|
c
|，則|
b
•
c
|的值一定等于以
a
，
b
為鄰邊的平行四邊形的面積．其中正確命題的序號是
 
．（寫出全部正確結(jié)論的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）如果a，b都是正數(shù)，且a≠b，求證a6+b6＞a4b2+a2b4
（2）設(shè)a，b，c為△ABC的三條邊，求證（a+b+c）2＜4（ab+bc+ca）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•南京模擬）A．選修4-1幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC交于點D．
求證：ED2=EB•EC．
B．矩陣與變換
已知矩陣A=
2-1
-43
，
4-1
-31
，求滿足AX=B的二階矩陣X．
C．選修4-4 參數(shù)方程與極坐標
若兩條曲線的極坐標方程分別為ρ=1與ρ=2cos（θ+
π
3
），它們相交于A，B兩點，求線段AB的長．
D．選修4-5 不等式證明選講設(shè)a，b，c為正實數(shù)，求證：a3+b3+c3+
1
abc
≥2
3
．

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