Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=AB=

3

，AD=1，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（Ⅰ）當點E為BC的中點時，證明EF∥平面PAC；
（Ⅱ）求三棱錐E-PAD的體積；
（Ⅲ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)AC，EF，則EF∥PC，由此能證明EF∥平面PAC．
（Ⅱ）由已知PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，S_△PAD=

1

2

×AD×PA=

3

2

，AB就是三棱錐E-PAD的高．由此能求出三棱錐E-PAD的體積．
（Ⅲ）由已知得等腰△PAB中，AF⊥PB，BC⊥平面PAB，從而AF⊥面PBC，由此能證明無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF成立．

解答： （本小題共12分）
（Ⅰ）證明：連結(jié)AC，EF
∵點E、F分別是邊BC、PB的中點
∴△PBC中，EF∥PC，…（2分）
又EF不包含于平面PAC，PC?平面PAC，…（3分）
∴當點E是BC的中點時，EF∥平面PAC．…（4分）
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，且AC，AB，BC?面ABCD，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
∴Rt△PAD中，PA=

3

，AD=1，
∴S_△PAD=

1

2

×AD×PA=

3

2

，…（6分）
又四邊形ABCD為矩形，∴AD⊥AB，
又AD和PA是面PAD上兩相交直線，∴AB⊥平面PAD，
又AD∥BC，∴AB就是三棱錐E-PAD的高． …（7分）
∴V_E-PAD=

1

3

×S△PAD×AB=

1

3

×

3

2

×

3

=

1

2

．…（8分）
（Ⅲ）證明：∵PA⊥AB，PA=AB=

3

，點F是PB的中點，
∴等腰△PAB中，AF⊥PB，…（9分）
又PA⊥BC，AB⊥BC，且PA和AB是平面PAB上兩相交直線，
∴BC⊥平面PAB，
又AF?平面PAB，∴AF⊥BC，…（10分）
又PB和BC是平面PBC上兩相交直線
∴AF⊥面PBC，…（11分）
又PE?平面PBC，∴AF⊥PE，
∴無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF成立．…（12分）

點評：本題考查EF∥平面PAC的證明，考查三棱錐E-PAD的體積的求法，考查無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF的證明，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．