Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）-f（-x）=0，且在區(qū)間[0，+∞）上f′（x）＞0，則使f(2x-1)＜f(

1

3

)成立的x取值范圍是（　　）

• A．(

  1

  3

  ，

  2

  3

  )
• B．[

  1

  3

  ，

  2

  3

  )
• C．(

  1

  2

  ，

  2

  3

  )
• D．[

  1

  2

  ，

  2

  3

  )

Answer 1

分析：由已知條件，可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上函數(shù)f（x）為增函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0]上為減函數(shù)，進(jìn)而可將函數(shù)f(2x-1)＜f(

1

3

)轉(zhuǎn)化為|2x-1|＜

1

3

，解得答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）滿足f（x）-f（-x）=0，即f（x）=f（-x）恒成立
故函數(shù)為偶函數(shù)
又∵在區(qū)間[0，+∞）上f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上為減函數(shù)
若f(2x-1)＜f(

1

3

)成立
則|2x-1|＜

1

3

，即-

1

3

＜2x-1＜

1

3

解得

1

3

＜x＜

2

3

．
故選A

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性與單調(diào)性的綜合，熟練掌握導(dǎo)函數(shù)符號與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，是解答的關(guān)鍵．