Question

【題目】已知點在橢圓內，過的直線與橢圓相交于A，B兩點，且點是線段AB的中點，O為坐標原點．

（Ⅰ）是否存在實數t，使直線和直線OP的傾斜角互補？若存在，求出的值，若不存在，試說明理由；

（Ⅱ）求面積S的最大值．

Answer 1

【答案】( Ⅰ)存在；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）設出直線方程為，代入橢圓方程得關于的一元二次方程，設，則可得，利用可建立的關系，即，上面的一元二次方程有兩個不等實根，即判別式，由此可得的范圍．注意特殊情形的討論，最后由直線和直線的傾斜角互補，即斜率和為0可求得，若不能求出，說明不存在）；（Ⅱ）利用（Ⅰ）得直線方程為，關鍵是由表示出， ，這是的函數，可函數知識易求最值.

試題解析：

（Ⅰ）存在.

由題意直線的斜率必存在，設直線的方程

是

代入得：

.（1）

設，，則，即，

解得：，

此時方程（1）即

由解得，，

（或由解得，）

當時，顯然不符合題意；

當時，設直線的斜率為，只需，

即，解得，均符合題意.

（Ⅱ）由（1）知的方程是，

所以，

，

因為，所以當時，.

點晴：解析幾何中存在性問題的求解方法：

1．通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化，其步驟為：假設滿足條件的元素（點、直線、曲線或參數）存在，用待定系數法設出，列出關于特定參數的方程組，若方程組有實數解，則元素（點、直線、曲線或參數）存在，否則（點、直線、曲線或參數）不存在．

2．反證法與驗證法也是求解存在性問題的常用方法．