Question

11．點(diǎn)P是曲線C₁：（x-2）²+y²=4上的動(dòng)點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，以極點(diǎn)O為中心，將點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)Q的軌跡方程為曲線C₂．
（1）求曲線C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）射線θ=$\frac{π}{3}（{ρ＞0}）$與曲線C₁，C₂分別交于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)M（2，0），求△MAB的面積．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：（x-2）²+y²=4上，把互化公式代入可得：曲線C₁的極坐標(biāo)方程．設(shè)Q（ρ，θ），則$P（{ρ，θ-\frac{π}{2}}）$，代入即可得出曲線C₂的極坐標(biāo)方程．
（2）M到射線$θ=\frac{π}{3}$的距離為$d=2sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，$|{AB}|={ρ_B}-{ρ_A}=4（{sin\frac{π}{3}-cos\frac{π}{3}}）=2（{\sqrt{3}-1}）$，即可得出面積．

解答 解：（1）曲線C₁：（x-2）²+y²=4上，把互化公式代入可得：曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
設(shè)Q（ρ，θ），則$P（{ρ，θ-\frac{π}{2}}）$，則有$ρ=4cos（{θ-\frac{π}{2}}）=4sinθ$．
所以，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．
（2）M到射線$θ=\frac{π}{3}$的距離為$d=2sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，$|{AB}|={ρ_B}-{ρ_A}=4（{sin\frac{π}{3}-cos\frac{π}{3}}）=2（{\sqrt{3}-1}）$，
則$S=\frac{1}{2}|{AB}|×d=3-\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程及其應(yīng)用、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．