Question

7．已知函數(shù)f（x）=blnx+a（a＞0，b＞0）在x=1處的切線與圓（x-2）²+y²=4相交于A、B兩點，并且弦長|AB|=
2$\sqrt{3}$，則$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$的最小值為5．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）在x=1處的切線方程，
根據(jù)圓心到直線的距離d、弦長以及半徑的關(guān)系，得出a、b的關(guān)系，
再代入$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$中，利用基本不等式求出它的最小值．

解答 解：f（x）=blnx+a（a＞0，b＞0），
∴f′（x）=$\frac{x}$，
∴切線l的斜率為k=f′（1）=b，且f（1）=a；
∴f（x）在x=1處的切線l的方程為y-a=b（x-1），
即bx-y+a-b=0；
又切線l與圓（x-2）²+y²=4交于A、B兩點，且弦長|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴圓心（2，0）到切線l的距離為d=$\frac{|2b+a-b|}{\sqrt{^{2}+1}}$，
由d²+${（\frac{|AB|}{2}）}^{2}$=r²，
∴$\frac{{（a+b）}^{2}}{^{2}+1}$+${（\sqrt{3}）}^{2}$=2²，
化簡得2ab+a²=1，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{2ab{+a}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{2ab{+a}^{2}}{^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$
=$\frac{2b}{a}$+1+$\frac{2a}$
=2（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+1≥2•2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$+1=4+1=5，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”；
∴所求的最小值為5．
故答案為：5．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的切線方程，以及點到直線的距離、弦長以及半徑的關(guān)系，和用基本不等式求出最值的應(yīng)用問題，是綜合題．