Question

（12分）如圖，已知橢圓的右頂點為A（2，0），點P（2e，）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足，且，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）因為橢圓的右頂點為A（2，0），所以 ，又因為點點P（2e，）在橢圓上，所以有 由此解得的值從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)直線的斜率為,則直線OC方程為 ,直線AB方程為 ,分別代入橢圓方程 ,由 ,求出 ,再由 ,求出實數(shù) 的值.

試題解析：【解析】
（1）∵橢圓的右頂點為A（2，0），∴a=2，

∵點P（2e，）在橢圓上，

∴，

∵a2=4，，a2=b2+c2，

∴b2=1，c2=3，

∴橢圓的方程為．

（2）設(shè)直線OC的斜率為k，則直線OC方程為y=kx，

代入橢圓方程，即x2+4y2=4，

得（1+4k2）x2=4，∴，

∴C（，），

又直線AB方程為y=k（x﹣2），代入橢圓方程x2+4y2=4，

得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，

∵xA=2，∴xB=，

∵=0，

∴+=0，

∴，∵C在第一象限，∴k＞0，∴k=，

∵=（），

=（2﹣，0﹣）=（，），

由=，得，

∴k=，∴．

考點：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與橢圓位置關(guān)系綜合問題.