Question

11．已知橢圓C₁與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{2}=1$有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
（1）求橢圓方程
（2）若P是橢圓C₁上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為橢圓C₁的左、右焦點(diǎn)，PF₁⊥PF₂，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩個(gè)橢圓有相同的焦點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求橢圓方程
（2）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用構(gòu)造定義結(jié)合三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵橢圓C₁與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{2}=1$有相同的焦點(diǎn)，
∴可設(shè)方程為$\frac{{x}^{2}}{m+3}+\frac{{y}^{2}}{m}=1$（m＞0），
把點(diǎn)$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$代入可得$\frac{1}{m+3}+\frac{3}{4m}=1$，解得m=1．
∴橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）由橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，可得F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0）；
∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2$\sqrt{3}$）²=12，
∵|PF₁|+|PF₂|=4，
∴|PF₁||PF₂|=2
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|=$\frac{1}{2}×2$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題．