Question

20．在直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AB=8，AC=6，BC=10，A₁A=6，D是BC邊的中點．
（1）求證：AB⊥A₁C；       
（2）求證：A₁C∥面AB₁D；
（3）求點A到面A₁BC的距離．

Answer 1

分析 （I）由已知及勾股定理可得AC⊥AB，又A₁A⊥平面ABC，可得A₁A⊥AB，又A₁A∩AC=A，即可判定AB⊥面C₁A，從而可證AB⊥A₁C．
（2）設(shè)A₁B與AB₁的交點為E，連結(jié)DE，可證DE∥A₁C，又DE?平面ADB₁，A₁C?平面ADB₁，從而可證明A₁C∥平面ADB₁．
（3）用等體積法即可求得點A到面A₁BC的距離．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（ I）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三邊長AB=8，AC=6，BC=10，
∴AC⊥AB，…（2分）
又A₁A⊥平面ABC，∴A₁A⊥AB，A₁A∩AC=A，
∴AB⊥面C₁A
∴AB⊥A₁C…（5分）
（2）設(shè)A₁B與AB₁的交點為E，連結(jié)DE…．（6分）
∵D是 BC的中點，E是AB₁的中點，∴DE∥A₁C…（8分）
∵DE?平面ADB₁，A₁C?平面ADB₁，
∴A₁C∥平面ADB₁ …（10分）
（3）∵由已知可得：A₁B=10，A₁C=6$\sqrt{2}$，BC=10
∴S_△ABC=$\sqrt{1476}$=2$\sqrt{369}$，
${V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×AC×{A}_{1}A$=48．
∴A到面A₁BC的距離d=$\frac{48}{2\sqrt{369}}$=$\frac{24\sqrt{369}}{369}$．------------（14分）

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，點、線、面間的距離計算，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．