Question

設(shè)函數(shù)f（x）=，對任意x₁、x₂∈（0，+∞），不等式恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是________．

Answer 1

k≥1
分析：當(dāng)x＞0時(shí)，=，利用基本不等式可求f（x）的最小值，對函數(shù)g（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，則，可求
解答：∵當(dāng)x＞0時(shí)，==2e
∴x₁∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x₁）有最小值2e
∵
∴=
當(dāng)x＜1時(shí)，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，則函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴x=1時(shí)，函數(shù)g（x）有最大值g（1）=e
則有x₁、x₂∈（0，+∞），f（x₁）_min=2e＞g（x₂）_max=e
∵恒成立且k＞0
∴
∴k≥1
故答案為k≥1
點(diǎn)評：本題主要考查了利用基本不等式求解函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性，最值求解中的應(yīng)用是解答本題的另一重要方法，函數(shù)的恒成立問題的轉(zhuǎn)化，本題具有一定的難度