已知函數(shù)f(x)在R上有定義，對任意實數(shù)a＞0和任意實數(shù)x，都有f(ax)＝af(x)．

(1)證明f(0)＝0；

(2)證明f(x)＝其中k和h均為常數(shù)；

(3)當(dāng)(2)中的k＞0時，設(shè)g(x)＝＋f(x)(x＞0)，討論g(x)在(0，＋∞)內(nèi)的單調(diào)性并求極值．

答案：
解析：

　　(1)證明：對于任意的a＞0，x∈R，均有

　　f(ax)＝af(x)　　①

　　在①中取a＝2，x＝0，即得f(0)＝2f(0)．

　　∴f(0)＝0　　②

　　(2)證明：當(dāng)x＞0時，由①得

　　f(x)＝f(x·1)＝xf(1)．

　　取k＝f(1)，則有

　　f(x)＝kx　�、�

　　當(dāng)x＜0時，由①得

　　f(x)＝f((－x)·(－1))

　�。�(－x)f(－1)．

　　取h＝－f(－1)，則有

　　f(x)＝hx　�、�

　　綜合②、③、④得

　　f(x)＝

　　(3)解法一：由(2)中的③知，當(dāng)x＞0時，g(x)＝，

　　從而(x)＝，x＞0．

　　又因為k＞0，由此可得

　　所以g(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，

　　在x＝處取得極小值2．

　　解法二：由(2)中的③知，當(dāng)x＞0時，

　　g(x)＝＋kx．

　　設(shè)x1，x2，∈(0，＋∞)，且x1＜x2，則

　　g(x2)－g(x1)＝＋kx2－(＋kx1)

　�。�·＋k(x2－x1)

　　＝k2x1x2－1)．

　　又因為k＞0，所以

　　(ⅰ)當(dāng)0＜x1＜x2＜時，g(x2)＜g(x1)；

　　(ⅱ)當(dāng)0＜＜x1＜x2時，

　　g(x2)＞g(x1)．

　　所以g(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，在x＝處取得極小值2．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f (x)在R上可導(dǎo)，且f (x) = x2 + 2x，則f (1)與f (1)的大小關(guān)系是（  ）

A．f (1) = f (1)            B．f (1)＜f (1)      C．f (1)＞f (1)            D．不能確定

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2016屆四川省高一上半期考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，對任意的，總有且，則不等式<0的解集為 (   )

A．(－1,0)∪(1，＋∞)        B．(－∞，－1)∪(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)    D．(－1,0)∪(0,1)

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆浙江省高二下學(xué)期第一次質(zhì)檢理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，則f(－2)與f(2)的大小關(guān)系為(　　)

A．f(－2)＝f(2)     B．f(－2)>f(2)      C．f(－2)<f(2)         D．不確定

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江蘇省高三練習(xí)數(shù)學(xué) 題型：填空題

已知函數(shù)f (x)在R上滿足f (x)＝2·f (2－x)－x2＋8x－8，則f (2)＝       

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山東省泰安市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理卷 題型：選擇題

已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)=x2+2xf ′(2），則f (-1）與f (1）的大小關(guān)系為

A. f（-1）= f（1）             B. f（-1）＞f（1）

C. f（-1）＜ f（1）            D.不確定

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案