Question

【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù)．

（1）求k的值；

（2）若方程有實數(shù)根，求b的取值范圍；

（3）設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得， 代入函數(shù)的解析式中，利用對數(shù)的運算法則得到 ；（2）將函數(shù)代入方程，將方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點的問題；通過判斷函數(shù) 的單調(diào)性，得到其最小值，從而求得b的取值范圍為 ；（3）由題意，兩個函數(shù)圖像有且只有一個公共點即方程有且只有一個實數(shù)根；通過討論方程根的情況來求得參數(shù)的取值范圍.

（1）∵為偶函數(shù)，∴，有，

∴對恒成立．

∴對恒成立，

∴

對恒成立，∴．

（2）由題意知，有實數(shù)根，即有解．

令，則函數(shù)的圖象與直線有交點，

．

∵，∴，

∴b的取值范圍是．

（3）由（1）知，，

∴由題意知有且只有一個實數(shù)根．

令，則，則關(guān)于t的方程（*）有且只有一個正根．

若，則，不合題意，舍去；

若，則方程（*）的兩根異號或方程有兩相等正根．

方程（*）有兩相等正根等價于，可解得．

方程（*）的兩根異號等價于，可解得．

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．